数论项目
适合初学者的自上而下学习项目
从 3 个适合初学者的数论项目中选择一个。选择一个项目，只学习该项目所需的数学知识。每个项目都包含按周分解的详细说明，包括代码示例和分步说明。
项目选项
选择一个项目开始学习
构建简单的加密系统 🔐
创建一个使用模运算加密和解密消息的程序。从简单的凯撒密码逐步进阶到高级的迷你 RSA 加密。
凯撒密码 → 仿射密码 → 迷你 RSA
2-3 周（每周 5 小时）
第 1 周：凯撒密码
先构建它，然后学习数学。破解它以理解安全性。
第 1-2 天：先构建它
加密：将每个字母移动 3 位。'HELLO' → 'KHOOR'。编写代码 - 暂时不用担心数学。
第 3-4 天：现在学习数学
这是模运算：(H + 3) mod 26。学习：什么是 'mod'？练习：计算 17 mod 5，23 mod 7。
第 5-7 天：破解它
尝试所有 26 种可能的移位。学习：为什么这不安全？
第 2 周：仿射密码（更难）
使用公式，学习为什么有效，并实现解密。
第 1-2 天：使用公式
加密：(ax + b) mod 26。示例：a=5, b=8。'HELLO' → ?
第 3-4 天：学习为什么有效
为什么必须 gcd(a, 26) = 1？学习：使用欧几里得算法求 GCD。练习：求 gcd(15, 26)，gcd(5, 26)。
第 5-7 天：解密
需要找到模逆。学习：扩展欧几里得算法。练习：求 5 mod 26 的逆。
第 3 周：迷你 RSA
使用小数字的 RSA，学习欧拉函数，实现完整的 RSA。
第 1-3 天：使用小数字的 RSA
给定：p = 61, q = 53, n = 3233, e = 17。加密消息 m = 123：c = (123^17) mod 3233 = ?
第 4-5 天：学习数学
为什么将两个素数相乘？什么是欧拉函数 φ(n)？学习：当 n = pq 时的 (p-1)(q-1)。
第 6-7 天：实现完整的 RSA
生成密钥。加密/解密。理解为什么它是安全的。
解决'可整除性侦探'问题 🔍
构建一个程序，解决诸如找出缺失数字等谜题，并使用可整除性规则和校验位算法验证信用卡号和 ISBN 等实际数字。
可整除性规则 → 校验位算法 → 通用验证器
2 周（每周 4 小时）
第 1 周：可整除性规则
学习 9 的可整除性，其他规则（2、3、4、5、6、8、9、10、11），并构建求解器。
第 1 天：问题
数字 45_72 能被 9 整除。缺失的数字是什么？
第 2-3 天：学习 9 的可整除性
规则：数字之和必须能被 9 整除。为什么？学习 mod 9 运算。练习：10 道类似问题。
第 4-5 天：其他可整除性规则
2、3、4、5、6、8、9、10、11 的可整除性。学习模式。练习：混合问题。
第 6-7 天：构建求解器
def find_missing_digit(number_string, divisor): # 您的代码在这里
第 2 周：校验位（实际应用）
信用卡（Luhn 算法）、ISBN 号码，并构建通用验证器。
第 1-2 天：信用卡（Luhn 算法）
信用卡：4532 1488 0343 6467。它有效吗？学习算法。实现它。使用真实卡号（最后一位）进行测试。
第 3-4 天：ISBN 号码
图书 ISBN：0-306-40615-?。计算校验位。学习 ISBN-10 算法。使用 mod 11。实现它。
第 5-7 天：构建通用验证器
def validate(number, algorithm): # 支持：Luhn、ISBN、UPC 等
素数探索器 🔢
创建一个程序，查找素数，高效测试素性，并可视化有趣的素数模式和关系。
查找素数 → 测试大素数 → 探索素数模式
2-3 周（每周 4 小时）
第 1 周：查找素数
暴力方法、优化，并实现埃拉托斯特尼筛法。
第 1-2 天：暴力方法
def is_prime(n): # 检查 n 是否能被 2 到 n-1 之间的任何数字整除。先写这个。
第 3-4 天：优化
只检查到 √n。为什么这有效？学习：如果 n = a × b，其中一个 ≤ √n。
第 5-7 天：埃拉托斯特尼筛法
找到所有小于 1,000,000 的素数。学习算法。实现它。可视化模式。
第 2 周：测试大素数
费马测试、米勒-拉宾测试，测试超大数字。
第 1-3 天：费马测试
561 是素数吗？测试：2^560 mod 561 = ? 学习费马小定理。实现测试。发现它可能被欺骗（卡迈克尔数）。
第 4-7 天：米勒-拉宾测试
更可靠的素性测试。用于实际密码学。实现它。测试超大数字（100+ 位）。
第 3 周：素数模式
孪生素数、素数间隙，可视化模式。
第 1-3 天：孪生素数
找到像 (11, 13), (17, 19) 这样的对。是否有无限多个？（未解决！）可视化它们。
第 4-7 天：素数间隙
连续素数之间的距离。绘制间隙。寻找模式。
快速入门指南
紧急速成课程，立即开始学习
紧急 1 天速成课程 🚨
4 小时强化课程，涵盖：模运算基础、最大公约数和欧几里得算法、模逆，以及应用到您的问题。
4 小时
第 1 小时：模运算基础
时钟运算：15 mod 12 = 3，23 mod 7 = 2。练习 20 道题。
第 2 小时：最大公约数和欧几里得算法
逐步学习 gcd(48, 18)。练习 10 道题。
第 3 小时：模逆
使用扩展欧几里得算法找到 x，使得 (5x) mod 26 = 1。练习 10 道题。
第 4 小时：应用到您的问题
使用您学到的知识，解决您的具体问题，查找您需要的其他内容。