Q: 完全平方数谜题

设 n = a² 且 n + 1 = b²，其中 a 和 b 是正整数。 那么：b² - a² = 1 (b - a)(b + a) = 1 由于 b - a 和 b + a 是乘积为 1 的正整数，我们必须有： b - a = 1 且 b + a = 1 但这给出：2a = 0，所以 a = 0，这不是正数。 实际上，连续的完全平方数至少相差 2a + 1，对于 a ≥ 1 至少为 3。 所以不可能有两个相差 1 的连续完全平方数！ 但如果我们允许 n = 0：0² = 0 且 1² = 1，所以 0 + 1 = 1 成立！ 答案：n = 0（唯一解，但 0 不是正数） 实际上，这个谜题没有正整数解！

Q: 模逆元

我们需要找到 x，使得 7x ≡ 1 (mod 26)。 这意味着：7x + 26y = 1，对于某个整数 y。 使用扩展欧几里得算法： 26 = 3 × 7 + 5 7 = 1 × 5 + 2 5 = 2 × 2 + 1 2 = 2 × 1 + 0 倒推： 1 = 5 - 2 × 2 1 = 5 - 2 × (7 - 1 × 5) 1 = 3 × 5 - 2 × 7 1 = 3 × (26 - 3 × 7) - 2 × 7 1 = 3 × 26 - 11 × 7 所以：-11 × 7 + 3 × 26 = 1 因此：7 × (-11) ≡ 1 (mod 26) 由于 -11 mod 26 = 15，我们有： 7 × 15 ≡ 1 (mod 26) 答案：x = 15 验证：7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1 ≡ 1 (mod 26) ✓

Question 1

缺失的数字

Accepted Answer

已知数字之和是 4 + 5 + 7 + 2 = 18。

由于 18 已经能被 9 整除，缺失的数字必须是 0 或 9。

检查一下：
- 45072: 4 + 5 + 0 + 7 + 2 = 18 ✓
- 45972: 4 + 5 + 9 + 7 + 2 = 27 ✓

两者都可以！但通常，我们使用 0 来得到最小的有效数字。

答案：0（或 9）

Question 2

质数和

Accepted Answer

由于 50 是偶数，而唯一的偶质数是 2，所以其中一个质数必须是 2。

所以我们需要：2 + p = 50，其中 p 是质数。

这给出 p = 48，但 48 不是质数（48 = 2 × 24）。

等等，让我重新考虑...实际上，如果两个质数都是奇数，它们的和将是偶数。但 2 是唯一的偶质数。

检查：3 + 47 = 50！7 + 43 = 50！13 + 37 = 50！19 + 31 = 50！

答案：有 4 对：(3, 47)、(7, 43)、(13, 37) 和 (19, 31)

Question 3

时钟算术

Accepted Answer

我们需要找到：3 + 100 mod 12

首先，计算 100 mod 12：
100 ÷ 12 = 8 余 4
所以 100 mod 12 = 4

因此：3 + 4 = 7

答案：将是 7 点

Question 4

最大公约数挑战

Accepted Answer

由于 gcd(a, b) = 6，我们可以写成：
a = 6x, b = 6y，其中 gcd(x, y) = 1

并且 a + b = 30，所以：
6x + 6y = 30
x + y = 5

由于 x < y 且 gcd(x, y) = 1，可能的对是：
- x = 1, y = 4 → a = 6, b = 24
- x = 2, y = 3 → a = 12, b = 18

验证：
gcd(6, 24) = 6 ✓
gcd(12, 18) = 6 ✓

答案：(a, b) = (6, 24) 或 (12, 18)

Question 5

完全平方数谜题

Accepted Answer

设 n = a² 且 n + 1 = b²，其中 a 和 b 是正整数。

那么：b² - a² = 1
(b - a)(b + a) = 1

由于 b - a 和 b + a 是乘积为 1 的正整数，我们必须有：
b - a = 1 且 b + a = 1

但这给出：2a = 0，所以 a = 0，这不是正数。

实际上，连续的完全平方数至少相差 2a + 1，对于 a ≥ 1 至少为 3。

所以不可能有两个相差 1 的连续完全平方数！

但如果我们允许 n = 0：0² = 0 且 1² = 1，所以 0 + 1 = 1 成立！

答案：n = 0（唯一解，但 0 不是正数）

实际上，这个谜题没有正整数解！

Question 6

模逆元

Accepted Answer

我们需要找到 x，使得 7x ≡ 1 (mod 26)。

这意味着：7x + 26y = 1，对于某个整数 y。

使用扩展欧几里得算法：
26 = 3 × 7 + 5
7 = 1 × 5 + 2
5 = 2 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0

倒推：
1 = 5 - 2 × 2
1 = 5 - 2 × (7 - 1 × 5)
1 = 3 × 5 - 2 × 7
1 = 3 × (26 - 3 × 7) - 2 × 7
1 = 3 × 26 - 11 × 7

所以：-11 × 7 + 3 × 26 = 1

因此：7 × (-11) ≡ 1 (mod 26)

由于 -11 mod 26 = 15，我们有：
7 × 15 ≡ 1 (mod 26)

答案：x = 15

验证：7 × 15 = 105 = 4 × 26 + 1 ≡ 1 (mod 26) ✓