问题 1： 设 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 和 $B = \{3, 4, 5, 6\}$。求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$。

解答：

• 并集（$A \cup B$）： 合并两个集合中的所有元素（去除重复） $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• 交集（$A \cap B$）： 只保留两个集合中都出现的元素 $A \cap B = \{3, 4\}$

答案： $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 且 $A \cap B = \{3, 4\}$

问题 2： 判断陈述是否为真：$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$

解答：

• 这表示"对于所有实数 $x$，$x^2$ 大于或等于 0"
• 对于任何实数 $x$：
  • 如果 $x > 0$，则 $x^2 > 0$
  • 如果 $x < 0$，则 $x^2 > 0$（负数乘以负数为正）
  • 如果 $x = 0$，则 $x^2 = 0$
• 因此，对于所有实数 $x$，$x^2 \geq 0$

答案： 真。$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ 是一个真陈述。

问题 3： 用符号表示："存在一个实数 $x$，使得 $x^2 = 2$"

解答：

• "存在" = $\exists$
• "一个实数 $x$" = $x \in \mathbb{R}$
• "使得" = $|$ 或 $:$
• "$x^2 = 2$" = $x^2 = 2$

答案： $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = 2$ 或 $\exists x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2$

问题 4： 如果 $A = \{1, 2, 3\}$ 且 $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A \subset B$ 是否成立？

解答：

• 检查 $A$ 的每个元素是否都在 $B$ 中：
  • $1 \in B$ ✓
  • $2 \in B$ ✓
  • $3 \in B$ ✓
• $A$ 的所有元素都在 $B$ 中，所以 $A \subset B$

答案： 是，$A \subset B$（A 是 B 的子集）

日常生活应用

集合论和逻辑帮助您组织信息、做出逻辑决策并理解日常情况下的关系。

组织和分类

• 集合和元素（$\in$，$\notin$）： 组织您的物品。创建集合，如"我读过的书" = $\{book_1, book_2, book_3\}$。如果一本书在这个集合中，我们写作 $book_1 \in \text{我读过的书}$。
• 子集（$\subset$）： 创建类别。"小说书" $\subset$ "所有书" 意味着所有小说书也是书。
• 空集（$\emptyset$）： 表示"没有"。如果您没有未读邮件，您的未读集合是 $\emptyset = \{\}$。

决策制定

• 并集（$\cup$）： 组合选项。如果您可以从餐厅 A $\cup$ 餐厅 B 中选择，您可以去任一餐厅（或两者，如果您多次访问）。
• 交集（$\cap$）： 找到共同特征。如果您想要一个"价格合理" $\cap$ "附近"的餐厅，您正在寻找既价格合理又附近的餐厅。

逻辑推理

• 蕴含（$\Rightarrow$）： 理解因果关系。"如果下雨（$R$），那么我会带伞（$U$）"写作 $R \Rightarrow U$。
• 当且仅当（$\Leftrightarrow$）： 表达等价性。"我参加聚会当且仅当我的朋友参加"意味着两个条件必须匹配：$I \Leftrightarrow F$。
• 因此（$\therefore$）： 得出结论。"正在下雨，而且我总是在下雨时带伞。$\therefore$ 我会带伞。"

购物和筛选

• 集合运算： 在线筛选产品。"打折商品" $\cap$ "有库存" 给您可用的打折商品。"免费送货" $\cup$ "店内取货" 给您任一选项。
• 子集： 理解产品类别。"电子产品" $\subset$ "所有产品" 意味着所有电子产品都是产品。

日程安排和规划

• 并集： 组合时间段。"上午会议" $\cup$ "下午会议" 给出所有会议时间。
• 交集： 找到共同可用时间。"您的空闲时间" $\cap$ "朋友的空闲时间" 显示您何时可以见面。
• 空集： 识别冲突。如果"您的日程" $\cap$ "会议时间" = $\emptyset$，您有空！

问题解决

• 对所有（$\forall$）： 做出一般性陈述。"$\forall$ 我预算中的物品，我可以负担得起"意味着每件物品都适合您的预算。
• 存在（$\exists$）： 找到解决方案。"$\exists$ 一家商店有这个物品"意味着至少有一家商店有它。

沟通

• 逻辑连接词： 清晰地构建论点。使用 $\Rightarrow$ 表示"如果-那么"陈述，$\Leftrightarrow$ 表示"当且仅当"条件。
• 因此（$\therefore$）： 提出结论。"证据显示 X。$\therefore$ 我们应该做 Y。"

问题解决方法

组织信息或做出决策时：

1. 定义您的集合（您正在处理哪些类别或组？）
2. 识别关系（子集、并集、交集）
3. 应用逻辑运算（$\cup$ 表示 OR，$\cap$ 表示 AND）
4. 使用逻辑推理（$\Rightarrow$ 表示蕴含，$\Leftrightarrow$ 表示等价）
5. 得出结论（$\therefore$）基于您的分析

集合论和逻辑提供了一种结构化的方式来思考关系并在日常生活中做出逻辑决策！