问题 1： 求 $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ 的导数

解答： 使用符号 $\frac{d}{dx}$：

• $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$（幂法则：$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$）
• $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
• $\frac{d}{dx}(-5) = 0$（常数的导数为 0）

答案： $f'(x) = 6x + 2$

问题 2： 计算 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

解答：

• 分解分子：$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
• $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)$
• 代入 $x = 2$：$2 + 2 = 4$

答案： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$

问题 3： 计算 $\sum_{i=1}^{5} (2i + 1)$

解答：

• $i = 1$：$2(1) + 1 = 3$
• $i = 2$：$2(2) + 1 = 5$
• $i = 3$：$2(3) + 1 = 7$
• $i = 4$：$2(4) + 1 = 9$
• $i = 5$：$2(5) + 1 = 11$
• 求和：$3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$

答案： $\sum_{i=1}^{5} (2i + 1) = 35$

问题 4： 计算 $\int_0^2 x^2 \, dx$

解答：

• 求原函数：$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$
• 应用上下限：$\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

答案： $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$

日常生活应用

微积分概念帮助您理解日常情况下的变化率、累积和优化。

金融和经济

• 变化率（$\frac{d}{dx}$）： 理解价格如何随时间变化。如果 $P(t)$ 表示时间 $t$ 的价格，则 $\frac{dP}{dt}$ 告诉您价格上涨或下跌的速度。
• 累积（$\int$）： 计算总储蓄。如果您每月节省 $200$ 元，$12$ 个月后的总储蓄是 $\int_0^{12} 200 \, dt = 200 \times 12 = 2,400$ 元。
• 优化： 找到最佳交易。导数帮助找到最大折扣或最低成本。

健康和医学

• 变化率： 跟踪药物有效性。如果 $C(t)$ 是您体内药物的浓度，$\frac{dC}{dt}$ 显示它被吸收或消除的速度。
• 累积： 计算总暴露量。积分 $\int_0^T C(t) \, dt$ 给出时间周期 $T$ 内的总药物暴露量。

物理和运动

• 速度和加速度： 如果位置是 $s(t)$，则速度是 $v(t) = \frac{ds}{dt}$，加速度是 $a(t) = \frac{dv}{dt}$。这有助于理解您移动的速度以及速度如何变化。
• 行驶距离： 积分 $\int_0^T v(t) \, dt$ 给出时间 $T$ 内行驶的总距离。

商业和生产

• 边际成本： 成本函数 $C(x)$ 的导数 $\frac{dC}{dx}$ 告诉您生产一个额外单位的成本——这对定价决策至关重要。
• 总产量： 积分 $\int_0^T P(t) \, dt$ 给出时间周期 $T$ 内的总产量。

技术和数据

• 增长率： 理解指数增长。如果数据以 $f(t) = e^{rt}$ 增长，导数 $\frac{df}{dt} = re^{rt}$ 显示增长率。
• 总数据： 计算总数据使用量。如果使用率是每小时 $R(t)$ GB，一天的总使用量是 $\int_0^{24} R(t) \, dt$。

能源和公用事业

• 功耗： 如果功耗是 $P(t)$ 瓦特，消耗的总能量是 $\int_0^T P(t) \, dt$（以瓦特小时为单位）。
• 速率： 导数 $\frac{dE}{dt}$ 显示能耗变化的速度。

问题解决方法

处理变化量时：

1. 识别正在变化的内容（价格、位置、浓度）
2. 确定速率（变化速度如何？）
3. 使用导数（$\frac{d}{dx}$）表示变化率
4. 使用积分（$\int$）表示总累积
5. 应用极限（$\lim$）当接近边界时

微积分帮助您理解和预测现实世界中事物的变化和累积方式！